geomat.dk : Bibliotek og galleri : Gradmålingekspeditionen : Beregninger : Hvorfor bliver jordens form ...

Beregninger


Hvorfor bliver jordens form en ellipse?

 

Et punkt P(x,y) på jordoverfladen påvirkes af to kræfter 
1) centrifugalkraften a:

           

(T er omløbstiden 24*602 sek og x er punktets afstand til rotationsaksen).

2) massetiltrækningskraften m:

    
(G = 6.672 * 10-11 N er gravitationskonstanten og mj = 5.974*1024 kg er jordens masse).

Tyngdekraften g er lig med summen af de to vektorer g = m + a:

           

 

 

 

hvoraf fås

 

 

 

Tyngdekraften g bestemmer lodlinjen, som står vinkelret på horisonten. Horisontens hældning er derfor lig med hældningskoefficienten af tværvektoren til g :

 

Størrelsen:


         

afhænger kun af jordens radius CP som ændres så lidt at den i det følgende kan opfattes som konstant.
Hvis man betegner størrelsen med e2 kan horisontens hældningskoefficient y´ skrives 

            y` = - x / y (1-e2).

Denne differentialligning løses ved separation af de variable:

        
                                            

Da kurven skal gå gennem (a , 0) hvor a er længden af radius ved ækvator er 2k = a2 (1-e2)

           y2 = -x2(1-e2) +a2(1-e2) y2 = (a2-x2)(1-e2)

og hvis man sætter 1-e2 = b2 / aog dividerer med b2 fås:

         

hvilket er en ellipse med de to storakser a og b. e er ellipsens extentrisitet.